2008-05-10
维数 大家讨论下
我们现在来看由维数概念创造的世界。一个数学世界可以存在于一个点、一条线、一个平面、一个空间或一个超立方体（四维立方体）。每一个高维包含那些比它低的维，但是每一个低维本身就可以成为一个世界。设想你生活的世界是在一个平坦的面上。你不能向上或向下看。三维生物只要从上面或下面进入你的领域，就能够在你根本不知道的情况下侵犯你的世界。数学家、作家和艺术家曾经在他们的作品中运用各种不同思想试图捕捉不同维的本质。第三维以上的维一直在吸引着人们的兴趣。立方体是最早被用来通过变成超立方体而进入第四维的三维物体之一。左图显示了变成超立方体所经过的各个阶段。现在甚至已经设计出了一些计算机程序，可以利用超立方体各个面的三维透视图来一瞥第四维的视觉形象。
- by beyondsanli
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评论
2006年7月20日 上午 10:12:00
发表者：吴军，Google 研究员
余弦定理和新闻的分类似乎是两件八杆子打不着的事，但是它们确有紧密的联系。具体说，新闻的分类很大程度上依靠余弦定理。
Google 的新闻是自动分类和整理的。所谓新闻的分类无非是要把相似的新闻放到一类中。计算机其实读不懂新闻，它只能快速计算。这就要求我们设计一个算法来算出任意两篇新闻的相似性。为了做到这一点，我们需要想办法用一组数字来描述一篇新闻。
我们来看看怎样找一组数字，或者说一个向量来描述一篇新闻。回忆一下我们在“如何度量网页相关性”一文中介绍的TF/IDF 的概念。对于一篇新闻中的所有实词，我们可以计算出它们的单文本词汇频率/逆文本频率值（TF/IDF)。不难想象，和新闻主题有关的那些实词频率高，TF/IDF 值很大。我们按照这些实词在词汇表的位置对它们的 TF/IDF 值排序。比如，词汇表有六万四千个词，分别为
单词编号 汉字词
------------------
1 阿
2 啊
3 阿斗
4 阿姨
...
789 服装
....
64000 做作
在一篇新闻中，这 64,000 个词的 TF/IDF 值分别为
单词编号 TF/IDF 值
==============
1 0
2 0.0034
3 0
4 0.00052
5 0
...
789 0.034
...
64000 0.075
如果单词表中的某个次在新闻中没有出现，对应的值为零，那么这 64,000 个数，组成一个64,000维的向量。我们就用这个向量来代表这篇新闻，并成为新闻的特征向量。如果两篇新闻的特征向量相近，则对应的新闻内容相似，它们应当归在一类，反之亦然。
学过向量代数的人都知道，向量实际上是多维空间中有方向的线段。如果两个向量的方向一致，即夹角接近零，那么这两个向量就相近。而要确定两个向量方向是否一致，这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。
余弦定理对我们每个人都不陌生，它描述了三角形中任何一个夹角和三个边的关系，换句话说，给定三角形的三条边，我们可以用余弦定理求出三角形各个角的角度。假定三角形的三条边为 a, b 和 c，对应的三个角为 A, B 和 C，那么角 A 的余弦 --
如果我们将三角形的两边 b 和 c 看成是两个向量，那么上述公式等价于
其中分母表示两个向量 b 和 c 的长度，分子表示两个向量的内积。举一个具体的例子，假如新闻 X 和新闻 Y 对应向量分别是
x1,x2,...,x64000 和
y1,y2,...,y64000,
那么它们夹角的余弦等于，
当两条新闻向量夹角的余弦等于一时，这两条新闻完全重复（用这个办法可以删除重复的网页）；当夹角的余弦接近于一时，两条新闻相似，从而可以归成一类；夹角的余弦越小，两条新闻越不相关。
我们在中学学习余弦定理时，恐怕很难想象它可以用来对新闻进行分类。在这里，我们再一次看到数学工具的用途。
若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用．
答:36维 如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加
四维空间能见到鬼了。
能见到从宇宙大爆炸到银河系行成，地球形成人类诞生等等各种历史事件，而且还会与各种不同维的“生物”擦肩而过却互相摸不到